項目応答理論を用いた音楽ゲームの譜面難易度推定における一次元性の確認
導入
心理学的な量を測定するための理論の1つである項目応答理論においては、（多次元拡張されていなければ）応答が一次元性を持つこと、すなわち測定しているただ1つの量のみによって応答が説明できることを仮定しています。例えば TOEFL は項目応答理論を用いて語学力という心理量を測定する試験ですが、すべての問題について、それが解けるかどうかは各人が持つ語学力によって決まっているという仮定をおいていることになります。
項目応答理論の応用としては、語学力の他にも音ゲーの譜面難易度推定というものがあります*1。こちらにおける一次元性はどうでしょう、地力という心理量があってそれを測定していると考えてもよいのでしょうか。SOUND VOLTEX なら地力はつまみ力・鍵盤力・片手力などの要素に分解して議論することが一般的です。IIDX 出身のプレイヤーが14 *2 が半分も埋まらないうちにあっさり大宇宙ステージ [EXH] をクリアするなど、一次元性に反しそうな例も知られています。ボルテの応答は先に挙げた要素からなる多次元量によって説明するほうがよいという考え方もありえます。果たしてボルテのデータセットに一次元の項目応答理論をそのまま適用するのは妥当なのか、検討しました。
手法
プレイデータに対して主成分分析を行い、それぞれの主成分の解釈を行いました。
SDVX III のスコアツールに登録されているデータのうち twitter 上で収集できたものをもちいました (プレイヤー数 2375) 。このデータ上でクリアレート *3 が 95% 以下の 351 譜面を対象として、プレイヤーが譜面を通常ゲージでクリアしていれば 1、そうでなければ 0 とした反応行列を生成しました。プレイヤーをデータ点とし、各譜面のクリア反応が説明変数です。
このデータをもちいて、各譜面のクリア反応のペアの相関を求めて相関行列とし、これの固有ベクトルを計算しました。
結果
寄与率（各固有値の固有値の総和に対する割合）は次のとおりです。
寄与率が低い順にソートしています。とても偏っていることがお分かりいただけるかと思います。
こちらが上位 5 成分について拡大したものです。第1主成分だけで 0.5 以上ありますし、この 5 つの寄与率の和は 0.722 にもなります。
各プレイヤーの第1主成分得点を横軸に、第2主成分得点を縦軸に取った散布図は次のようになります。
なんだかものすごくきれいな曲線が見えます。
同様に、縦軸を第3主成分得点や第4主成分得点に置き換えると次のようになります。
ここにもきれいな曲線が見えます。
また、各種成分ベクトルの要素は、第1主成分については全て正、それ以外は正の要素と負の要素がだいたい半々でした。
議論
寄与率のグラフを見ると、全体の分散のほとんどは少数の主成分で説明できることがわかります。特に、第1主成分の寄与率が0.5を超えており、これだけでも一次元性が成り立っていると言ってもいいかもしれません。
しかも、この第1主成分はただひとつ要素が全て正です。これはクリア力の主成分であると解釈できます。
より興味深いのは主成分得点です。主要主成分の方向に射影するととてもきれいな曲線が出てきます。この現象を説明する1つの仮説を以下に説明します。
簡単のため、レベル14・レベル15・レベル16の3譜面からなるデータセットで同様の実験をしたと考えます。これらの譜面の難易度には十分な一次元性があるとすると、データ点の分布は次のようになるはずです。
ここに主成分、つまり分散が大きくなる方向を書き加えると、
こうなります。これは第1・第2主成分得点の散布図に近い感じがします。第3主成分は、15と16の軸を取り替えて *4、
こんな感じになっている気がします。
結論
主成分分析を行うことにより、寄与率 0.5 を持ち、しかも地力と解釈できる主成分を得ました。第2主成分以下についても、一次元性を仮定すれば難易度を別の形で表現したものであるとして説明できる可能性を示しました。SOUND VOLTEX のクリアデータは一次元性を仮定して解析してもよさそうです。
今後の課題
- 他の反応（ハードクリア、UC *5 など）での一次元性
- 他のゲームに置ける一次元性
- 譜面属性は経験的には明らか。今回はノイズとの分離に失敗しただけかもしれない。一般的に考えられている属性が偏った譜面だけをデータセットに集めたら主成分にそれが現れるかも *6
- 「仮説」は主成分得点の散布図が特定の曲線上以外にも点を持つことを完全には説明できていない。
